Congruence et divisibilité

Propriété

Soit $a\in \mathbb{Z}$ et $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ .

• $a\equiv 0[n]$  si, et seulement si,  $n$  divise  $a$ .
  
• $a\equiv r[n]$  et  `0 \leq r si, et seulement si,  $r$  est le reste dans la division euclidienne de  $a$  par  $n$ .
  

Exemples

• Comme $37\equiv 2[5]$ , le reste dans la division euclidienne de $37$  par $5$ vaut $2$ (car $0⩽2<5$ ).
  
• Comme $28\equiv 0[7]$ ,  $7$ divise $28$ (autrement dit, le reste dans la division euclidienne de $28$  par $7$ vaut $0$ ).
• Comme $-65\equiv -1\equiv 3[4]$ , le reste dans la division euclidienne de $-65$ par $4$ vaut $3$ .
  

Démonstration

• On a : 
  $\begin{array}{rl}a\equiv 0[n]& ⟺a\text{ est un multiple de }n\\ & ⟺\text{il existe }k\in \mathbb{Z}\text{ tel que }a=kn\\ & ⟺n\text{ divise }a.\end{array}$
• On a :
  \(\begin{align*} a \equiv r \ [n] \text{ et } 0 \leqslant r